由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？

答　由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，

通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt，

所以ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．

小结　(1)如果f(x)在区间[a，b]上可积，且F′(x)＝f(x)，则ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理．

(2)运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．

思考2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？

答　不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．

不影响，因为ʃf(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)．

例1　计算下列定积分：

(1)ʃdx；(2)ʃ(2x－)dx；(3)ʃ(cos x－ex)dx.

解　(1)因为(ln x)′＝，

所以ʃdx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.

(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，

所以ʃ(2x－)dx＝ʃ2xdx－ʃdx

＝x2|＋|＝(9－1)＋(－1)＝.

(3)ʃ(cos x－ex)dx＝ʃcos xdx－ʃexdx