1.1.1 算法的概念

项目 内容 课题 1.1.1 算法的概念

　　　　　　　　　　　　（共 1 课时） 修改与创新 教学

目标 1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.

2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.

3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 教学重、

难点 教学重点：算法的含义及应用.

教学难点：写出解决一类问题的算法. 教学

准备 多媒体课件 教学过程

导入新课（情境导入）

一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容--算法.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）解二元一次方程组有几种方法？

（2）结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.

（3）结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.

（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.

（6）请同学们总结算法的特征.

（7）请思考我们学习算法的意义.

讨论结果：

（1）代入消元法和加减消元法.

（2）回顾二元一次方程组

的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：

第一步，①+②×2，得5x=1.③

第二步，解③，得x=.

第三步，②-①×2，得5y=3.④

第四步，解④，得y=.

第五步，得到方程组的解为

(3)用代入消元法解二元一次方程组

我们可以归纳出以下步骤：

第一步，由①得x=2y－1.③

第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④

第三步，解④得y=.⑤

第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=.

第五步，得到方程组的解为

(4)对于一般的二元一次方程组

其中a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：

第一步，①×b2-②×b1，得

（a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③

第二步，解③，得x=.

第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④

第四步，解④，得y=.

第五步，得到方程组的解为

(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏."不重"是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，"不漏" 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的"第一步"直到"最后一步"之间做到环环相扣，分工明确，"前一步"是"后一步"的前提， "后一步"是"前一步"的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.

(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.

应用示例

例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.

　　　（2）设计一个算法，判断35是否为质数.

算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2-6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.

算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.

（2）类似地，可写出"判断35是否为质数"的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.[ ]

第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.

第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.

第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.

点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.

变式训练

请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.

分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i表示2-(n-1)中的任意整数，则"判断n是否为质数"的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.

这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.

算法如下：第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i=2.

第三步，用i除n,得到余数r.

第四步，判断"r=0"是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.

第五步，判断"i＞（n-1）"是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.

例2 写出用"二分法"求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.

分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.

"二分法"的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）"一分为二"，得到［a,m］和［m,b］.根据"f(a)·f(m)<0"是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］"足够小"，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.

解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.

第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.

第三步，取区间中点m=.

第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.

第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.

当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.

a b |a-b| 1 2 1 1 1.5 0.5 1.25 1.5 0.25 1.375 1.5 0.125 1.375 1.437 5 0.062 5 1.406 25 1.437 5 0.031 25 1.406 25 1.421 875 0.015 625 1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5 1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25[来 于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求的近似值的一个算法.

点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为"数学机械化".数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续......

知能训练

设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.

解：算法步骤如下：

第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.

第二步，计算Δ=b2－4ac的值.

第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出"方程有实根"；否则输出"方程无实根"，结束算法.

点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.

拓展提升

中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.

解：算法分析：

数学模型实际上为：y关于t的分段函数.

关系式如下：

y=

其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.

算法步骤如下：

第一步，输入通话时间t.

第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行

y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.

第三步，输出通话费用c.

课堂小结

（1）正确理解算法这一概念.

(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.

作业

课本本节练习1、2.