解：f′(x)=+2bx+1,

∵f′(1)=f′(2)=0,

∴.

解得

∴f(x)=lnx-x2+x.

各个击破

类题演练 1

求函数y=x4-2x2-1的极值.

解:y′=4x3-4x,令y′=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.

将x、y及在相应区间上y′的符号关系列表如下:

X (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1)] 1 (1,+∞) Y′ - 0 + 0 - 0 + Y ↘ 极小值-2 ↗ 极大值-1 ↘ 极小值-2 ↗ 所以当x=-1时,函数有极小值-2;当x=0时,函数有极大值-1;当x=1时函数有极小值-2.

变式提升 1

求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

解:f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),

令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3,

∴x<-1时,f′(x)>0,函数f(x)递增;-13时,f′(x)>0,函数f(x)递增.

∴f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22.

类题演练2

若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,求a的取值范围.

解:f(x)为三次函数,f′(x)为二次函数,要使f(x)既有极大值又有极小值,需f′(x)=0有两个不相等的实数根,从而有Δ=(2a)2-4(a+2)>0,解得a<-1或a>2.

变式提升2

求函数y=8x3-12x2+6x+1的极值.

解:y′=24x2-24x+6.

令y′=0,即24x2-24x+6=0,解得x=.

当x>时,y′>0;当x<时,y′>0.

所以此函数无极值.

类题演练 3

已知函数f(x)=x++b有极小值2，求a、b应满足的关系.