例3　若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　因为f(x)＝－x2＋x＋1，

所以f′(x)＝x2－ax＋1.

函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，可化为x2－ax＋1＝0在区间上有解，

即a＝x＋在区间上有解，

设t(x)＝x＋，则t′(x)＝1－，

令t′(x)>0，得1

所以t(x)在(1,4)上单调递增，在上单调递减．

所以t(x)min＝t(1)＝2，又t＝，t(4)＝，

因为a＝2时，f(x)在区间上不存在极值点，

所以a∈.

思维升华函数极值的两类热点问题

(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．

(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

②验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1　设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.

(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．