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＝－2＝＋＋...＋，
所以求证式等价于＜＋＋...＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋...＋2n]≥n2，
于是＋＋...＋
≥＝＝≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋...＋＜
＜ ＝.
设a，b，c，d为不全相等的正数．
求证：＋＋＋>.
[证明] 记s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于
＋＋＋>.
构造两组数
，，，；，，，，由柯西不等式得
[()2＋()2＋()2＋()2]·[＋＋＋]≥(1＋1＋1＋1)2.
即[4s－(a＋b＋c＋d)]·(＋＋＋)≥16，
于是＋＋＋≥，
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