(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.

(1)证明　由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，

所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，

所以h(1)h(2)<0，

所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.

(2)解　由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x.

由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)，

而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点.

又h(x)在(1，2)内有零点，

因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点.

h′(x)＝ex－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1，

则φ′(x)＝ex＋x－.

当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，

即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，

则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，

所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.

考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围

【例2】 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.

解　(1)函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞).

f′(x)＝a＋ln x＋1，

因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，

即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；

令f′(x)<0，解得0

所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).

(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图像有两个不同的交点.

由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，