导数的几何意义的应用 　　【例2】　已知函数f(x)＝x3＋x－16.

　　(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

　　(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

　　思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；

　　(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x0，f(x0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得．

　　[解]　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

　　∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

　　∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

　　∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，

　　即y＝13x－32．

　　(2)设切点为(x0，y0)，

　　则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，

　　y0＝x＋x0－16，

　　∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.

　　又∵直线l过点(0,0)，

　　∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

　　整理得，x＝－8，

　　∴x0＝－2．

　　∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

　　得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.

　　∴直线l的方程为y＝13x，

　　切点坐标为(－2，－26)．

　　利用几何意义求切线时的关键

　　利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求"在某点处的切线方程"，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求"过某点的切线方程"，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得

　　y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)， ①

　　又y1＝f(x1)， ②

　　由①②求出x1，y1的值，

　　即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．