【例2】(2013辽宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.

(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程.

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.

(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.

联立

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·.

解得离心率e＝＝.

由＝得b＝a，所以a＝，即a＝3，b＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.

【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为　　　.

【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0⇒

2ax0＋2by0＝0⇒ax0－by0＝0.

故＝＝.

题型三　对称问题

【例3】在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围.

【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.

设直线AB的方程为y＝－x＋b，