例2　写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：

(1)若x2<4，则－2

(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.

分析　依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．

解　(1)否命题："若x2≥4，则x≥2或x≤－2"．

命题的否定："若x2<4，则x≥2或x≤－2"．

通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．

(2)否命题："若m≤0或n≤0，则m＋n≤0"．

命题的否定："若m>0且n>0，则m＋n≤0"．

由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．

3　判断条件四策略

1．应用定义

如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．

例1　设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么"x∈M或x∈P"是"x∈P∩M"的________条件．(填"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分又不必要")

解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.

若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，

所以p⇏q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p.

综上知，"x∈M或x∈P"是"x∈P∩M"的必要不充分条件．

答案　必要不充分

2．利用传递性

充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.

例2　如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分又不必要")

解析　依题意，有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D，由命题的传递性可知D⇒A，但A⇏D.于是A是D的必要不充分条件．

答案　必要不充分