3.3.2　利用导数研究函数的极值

第1课时　利用导数研究函数的极值

学习目标　1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

知识点一　函数极值的概念

函数y＝f(x)的图象如图所示．

思考1　函数f(x)在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？f′(x)在x＝a处的值与其附近的值有什么关系？

答案　函数在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小；f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.

思考2　函数在点x＝b处的情况呢？

答案　函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.

梳理　函数的极值及极值点

(1)已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．

(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

极值点是指函数在区间(a，b)内取得极大(小)值的对应的自变量x0，极值点不是点，是一个数x0∈(a，b)；而极值是一个函数值，是极值点x0对应的函数值f(x0)．