答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a

思考2 　当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？

答　如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．

由于>0，f(ξi)≤0，故

f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.

当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.

例2　利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx.

(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：

ʃ(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，

∴ʃ(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.

反思与感悟　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．

跟踪训练2　根据定积分的几何意义求下列定积分的值：

(1)ʃxdx；(2)ʃcos xdx；(3)ʃ|x|dx.

解　(1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0.