∴||=2,||=.

如图(2),与的夹角∠BAC=45°,

∴·=·(-)=-(·)

=-||||cos∠BAC=-2×cos45°=-2××=-4.

二、两向量的夹角

关于两向量的夹角,注意:

(1)已知两个非零向量a、b(如图所示),作=a,=b,则∠AOB称为向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.

(2)两向量夹角的范围是［0,π］,且〈a,b〉=〈b,a〉.

(3)当〈a,b〉=时,称向量a与向量b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.

(4)当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向.

【例2】 已知单位向量e1、e2的夹角为60°,求向量a=2 e1+ e2与b=2 e2-3 e1的夹角θ.

思路分析:注意单位向量的模是1这个隐含条件.

解:∵e1·e2=|e1||e2|cos60°=cos60°=,

∴a·b=(2e1+e2)·(2e2-3e1)=-6e12+e1·e2+2e22=.

又a2=(2 e1+e2)2=4 e12+4e1·e2+e22=7,

b2=(2e2-3e1)2=4 e22-12e1·e2+9e12=7.

∴|a|=|b|=,则cosθ==-,

又∵0≤θ≤π,∴θ=π.

类题演练 2

已知|a|=5，|b|=4，且a·b=-10，求a与b的夹角θ.