故-n≥+.

当a,b有一个为负值时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0,所以a>|b|,又n为偶数.

所以(an-bn)(an-1-bn-1)>0.又(ab)n>0,

故>0.

即>+.

综上,可知原不等式成立.

黑色陷阱：本题极易造成以下错解:

∵--

=,

又n为偶数,

∴(ab)n>0,又an-bn和an-1-bn-1同号.

∴-->0.

故>+.

错误的原因是:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b>0的情况下,应分a>0,b>0和a,b有一个负值两种情况加以讨论.

【变式训练】 已知a,b∈R+,n∈N+,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).

思路分析：本题可以用作差比较法,但差式中a,b的大小关系需要讨论.

证明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)

=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1

=a(bn-an)+b(an-bn)

=(a-b)(bn-an).

(1)若a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,

∴(a-b)(bn-an)<0.

(2)若b>a>0时,bn-an>0,a-b<0,

∴(a-b)(bn-an)<0.

(3)若a=b>0时,(bn-an)(a-b)=0,

综上(1)(2)(3)可知,对于a,b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).

【例3】 (2005山东高考,21) 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).

(1)证明数列{an+1}是等比数列;

(2)令f(x)=a1x+a2x2+...+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1),并比较2f′(1)与23n2-13n的