把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．

　　(2)渐开线的参数方程：

　　①动点(笔尖)所满足的几何条件：

　　如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M，它的初始位置记作A，绳子离开圆盘的位置记作B，随着绳子逐渐展开，动点B从点A出发在圆周上运动，动点M满足以下条件：

　　(Ⅰ)MB与圆相切于B；

　　(Ⅱ)MB的长度与B在圆周上走过的弧长相等，即MB＝.

　　图(2)　　　　　　　　　　　图(3)

　　②渐开线的参数方程：

　　如图(3)，以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r，则动点M的初始位置A的坐标为(r,0)，设动点M的坐标为(x，y)，φ是以OA为始边、OB为终边的正角，令φ为参数，此时的弧长为rφ.

　　作ME⊥Ox，BC⊥Ox，垂足分别为E，C；

　　作MD⊥BC，垂足为D，则∠MBD＝∠AOB＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：(其中φ是参数)．

　　1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？

　　提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)

　　2．在图(1)中点O，E间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？

提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr，拱高等于圆的直径2r.其中r为滚动圆的半径．