由y′=0得x=1，由=0得x=0或x=2

当x变化时，y′、y的变化情况如下表：

x （-∞,0） 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) y′ - 不存在 + 0 - 不存在 + y 极小值 极大值 极小值 ∴当x=0时，y极小值=0；当x=1时，y极大值=1；

当x=2时，y极小值=0.

类题演练2

若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，求a的取值范围.

解：f(x)为三次函数，f′(x)为二次函数，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a)2-4(a+2)＞0,解得a＜-1或a＞2.

∴a的取值范围是（-∞,-1)∪(2,+∞)

变式提升2

如果函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足b2-3ac＜0,a≠0,

求证：函数f(x)无极值.

证明：f′(x)=3ax2+2bx+c

当a＞0时，

∵Δ=4b2-12ac＜0

∴f′(x)＞0恒成立，f(x)在（-∞,+∞)内单调递增，f(x)无极值.

当a＜0时，∵Δ=4b2-12ac＜0

∴f′（x）＜0恒成立，f(x)在（-∞,+∞)内单调递减，f(x)无极值.

类题演练3

已知函数f(x)=x3-ax2+bx在x=+1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间.

解：由解得

∴f(x)=x3-x2-x,

∴f′(x)=3x2-2x-1.

由f′(x)＞0,得x＜或x＞1;由f′(x)＜0,

得-＜x＜1.

∴函数f(x)的单调递增区间是（-∞,-)和（1，+∞），单调递减区间是（-，1）.

变式提升3

设a＜0

证明：f(x)=取得极大值和极小值的点各1个.

证明：f′(x)=,令f′(x)=0，即ax2+2bx-a=0,①.

∵Δ=4b2+4a2＞0,∴方程①式有两个不相等的实根，记为x1、x2，不妨设x1＜x2,则