设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB＝，将y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，得AB＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以AB＝·，其中x1＋x2与x1·x2均可由根与系数的关系得到．

(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.

例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.

类型一　直线与椭圆的位置关系

例1　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

答案　A

解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．

(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．

解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.

即k的取值范围为∪.

反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程

(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．

(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．