3.2平面的法向量
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学习目标 1.理解空间法向量的概念,掌握空间法向量的计算。
2.理解空间中直线的方向向量。 学习重点
难点 重点: 理解直线的方向向量和平面的法向量概念。
难点: 平面的法向量的求法。 学法指导 通过课前自主预习,理解直线的方向向量与平面的法向量定义;小组合作探究得出平面法向量的求法. 课前预习 (阅读课本102-103页,独立完成以下题目)
1.直线的方向向量:空间中任意一条直线l的位置可以由l上一
个 以及一个 确定,把这个向量叫做直线l的一个方向向量。如右图1中的。
2.如右图2,直线l⊥α,取直线l的一个 ,则向量叫做平面α的 。 预习评价 (学生独立完成,教师通过批改了解掌握情况)
1.已知,,若,则= 。
2. 已知,,则 。
3. 若点A(﹣1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的方向向量可以为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)
4.已知空间三点A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5),如果平面ABC的法向量是,那么的坐标可以是( )
A.(1,1,1) B.(1,﹣1,1,) C.(﹣1,1,1) D.(1,1,﹣1) 课堂学习研讨、合作交流 一.引入:
我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题,你是否已经初步体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用?这节课我们将进一步学习立体几何中的向量方法。
二.新课探究:
探究一:如何把空间中的点、直线、平面的位置用向量表示出来。
问题1:在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?
问题2:什么是直线的方向向量?一条直线的方向向量唯一吗?
问题3:平面的法向量是什么?
问题4:一个平面的法向量唯一吗?如果不唯一,它们之间有什么关系?
探究二:如何求平面的法向量。
已知:平面α内有三个不共线的三点A(1,1,1),B(2,1,2),C(1,2,2),如果一个向量是平面α的法向量,
问题5:与,垂直吗?你能求出,的坐标吗?
问题6:设,如果⊥且⊥,那么,与的坐标之间满足怎样的关系?
问题7:根据问题8联立成方程组,有多少个解?你能求出的一个解吗?(注:给其中一个变量任意赋一个非零值,然后解出剩余两个变量)
那么,你能总结出求平面法向量的一般方法吗?