例2　用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.

证明　假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a，又b∥a，由平行公理知b′∥b.

这与b∩b′＝A矛盾，故假设错误，

所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.

反思与感悟　证明"唯一性"问题的方法："唯一性"包含"有一个"和"除了这个没有另外一个"两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设"有另外一个"，推出矛盾)或同一法(假设"有另外一个"，推出它就是"已知那一个")证明，而用反证法比用同一法更方便.

跟踪训练2　求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.

已知：平面α和一点P.

求证：过点P与α垂直的直线只有一条.

证明　如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P).

假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立.

题型三　用反证法证明结论中含有"至多""至少""都"等词语的问题

例3　用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根)

证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.

因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，

所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.