此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

　　概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件.

3.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

（４） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10

（５） p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（１）和（３）中，p==>q ，且q==>p，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，p==>q ,但q　　p，故p 不是q的充要条件；

命题（４）中，pq ，但q==>p，故p 不是q的充要条件；

命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

４．类比定义

　　一般地，

　　若p==>q ,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；

　　若pq，但q==>p，则称p是q的必要但不充分条件；

　　若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若p==>q ,但qp，则p是q的充分但不必要条件；

②若q==>p，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

③若p==>q，且q==>p，则p是q的充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

５．巩固练习：P14 练习第 1、2题

说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．

６．例题分析

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p==>q）和必要性（q==>p）即可．

证明过程略．

７．教学反思：

充要条件的判定方法

如果"若p，则q"与" 若p则q"都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．