引申探究　

等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是________.

答案　4p2

解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.

由方程组

得或

所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p).

所以AB＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.

反思与感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负.

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.

跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程.

考点　抛物线的几何性质

题点　由几何性质求抛物线方程

解　设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0).

因为点P到对称轴距离为6，

所以y0＝±6.

因为点P到准线距离为10，

所以＝10.①

因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②

由①②，得或或或

所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.

类型二　抛物线的焦点弦问题

例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.