f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)

思考2　函数的极值与单调性有什么联系？

答　极值点两则单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.

类型一　求函数的极值点和极值

例1　求下列函数的极值，并画出函数的草图：

(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.

解　(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.

令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.

当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) y′ － 0 － 0 ＋ 0 ＋ y 无极值 极小值0 无极值

∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0.

函数的草图如图所示．

(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.

令f′(x)＝0，解得x＝e.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：