[解]　由柯西不等式得：[x2＋(2y)2＋(3z)2]·

　　≥2.

　　因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，

　　所以a≥(x＋y＋z)2，

　　即－≤x＋y＋z≤.

　　因为x＋y＋z的最大值是7，

　　所以＝7，得a＝36，

　　当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，

　　所以a＝36.

利用排序不等式证明不等式 　　由于排序不等式是用综合法证明与字母顺序有关不等式中的重要依据，也就成为证明不等式时的一种重要工具，应用的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个方列是难点所在，且要注意等号成立的条件．

　　[例5]　设a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，

　　求证：(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)；

　　(2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.

　　[证明]　(1)用比较法：c(a＋b－c)－b(c＋a－b)

　　＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab

　　＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．

　　因为b≥c，b＋c－a≥0，

　　于是c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，

　　即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)①

　　同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)②

　　综合①②，证毕．

　　(2)由题设及(1)知

　　a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)，

　　于是由排序不等式"反序和≤乱序和"得

　　a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)

　　≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)

　　＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)①

再一次由"反序和≤乱序和"得