例2 若sinα=,sinβ=,且α,β是锐角，求α+β的值.

思路分析：可先求出α+β的某种三角函数值.但应当注意对α+β的角的范围进行讨论.

解：∵α,β是锐角，

∴cosα=cosβ=.

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.

又∵sinα=＜,sinβ=＜，∴0°＜α＜30°,0°＜β＜30°.

∴0°＜α+β＜60°.∴α+β=45°.

黑色陷阱：此题在解出sin(α+β)=时，易误认为α+β=45°或α+β=135°.忽视了sinα,sinβ的取值对α,β范围的进一步限制.

变式训练

已知cos(α+)=,≤α＜，求cos(2α+)的值.

思路分析:先将cos(2α+)变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意cos(α+)=对α+的限制，在求sin(α+)时将会出现两种情况.

解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).

∵≤α<，∴≤α+<.

又∵cos(α+)>0，∴<α+<.

∴sin(α+)==-.

∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.

sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.

∴原式=×(-)=.