即≤,故a≥c.

当且仅当2a=b时取等号,此时,由条件p2=2abp=b,再由p=知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾,因此a>c.

变式提升2

(1)a,b,c为三角形的三边,证明a2+b2+c2<2(ab+bc+ca);

(2)设a,b,c为三角形的三边,证明

证明:(1)a,b,c为三角形的三边,有

a+b>cc(a+b)>c2,

b+c>aa(b+c)>a2,

c+a>bb(c+a)>b2.

三式相加即为2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2.

(2)

∴原不等式成立.

三、利用其他方法进行放缩

【例3】 设0<α<β<,0<θ<,求证:

思路分析:α,β,θ为锐角,因此sin(θ+α),sin(θ+β),sinα,sinβ都是正值,当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢?外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.

证明：

∴原不等式成立.

温馨提示

将cosα换成cosβ,值变小了,这里又直接利用了不等式:a,b,m>0且a

类题演练3

设△ABC的三边a,b,c满足关系:a2+b2=c2,当n>2,且n∈N*时,求证:an+bn

证明:∵a2+b2=c2,∴a