极小值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].

综上所述:

当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

当0

极大值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],

极小值是h(0)=-2a-1;

当a=1时,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

当a>1时,函数h(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,

在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,

极大值是h(0)=-2a-1,

极小值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].

教师用书专用(6-17)

6.(2018福建,10,5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f '(x)满足f '(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是　(　　)

A.f< B.f>

C.f< D.f>

答案　C

7.(2018课标全国Ⅱ,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(　　)

A.∃x0∈R, f(x0)=0

B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减

D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0

答案　C

8.(2018天津,20,14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.

(1)求g(x)的单调区间;

(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)<0;

(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足≥.

解析　本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查函数思想和化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

(1)由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f '(x)=8x3+9x2-6x-6,进而可得g'(x)=24x2+18x-6.令g'(x)=0,解得x=-1或x=.

当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-1) g'(x) + - + g(x) ↗ ↘ ↗

所以,g(x)的单调递增区间是(-∞,-1),,单调递减区间是.

(2)证明:由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).

令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H1'(x)=g'(x)(x-x0).由(1)知,当x∈[1,2]时,g'(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H1'(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H1'(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>0,即h(m)>0.

令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H2'(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H2'(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H2'(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)

所以,h(m)h(x0)<0.

(3)证明:对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],令m=,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由(2) 知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)-f =0.

由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0

=.

因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f≠0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥1.所以≥.所以,只要取A=g(2),就有≥.

9.(2018广东,19,14分)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明: f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;

(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.