(4)是特称命题，∃n0∈N*，其中＝.

类型二　全称命题与特称命题的真假的判断

例2　判断下列命题的真假．

(1)所有的素数都是奇数；

(2)∀x∈R，x2＋1≥1；

(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；

(4)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0；

(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线．

解　(1)2是素数，但2不是奇数．

所以全称命题"所有的素数都是奇数"是假命题．

(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.

所以全称命题"∀x∈R，x2＋1≥1"是真命题．

(3)是无理数，但()2＝2是有理数．

所以全称命题"对每一个无理数x，x2也是无理数"是假命题．

(4)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以特称命题"存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0"为假命题．

(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直同一条直线，所以特称命题"存在两个相交平面垂直于同一条直线"为假命题．

反思与感悟　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：

(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则命题为假．

(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)不成立即可．

跟踪训练2　(1)举反例说明下列命题是假命题．

①∀x∈R，都有|x|＝x；

②∀x∈R，都有＝x；

③任意一元二次方程都有实数解；

④凡x<2，都有x<1(x∈R)．

解　①当x＝－1时，|x|＝1，而x＝－1，等式不成立，故为假命题．

②当x＝－1时，＝1，而x＝－1，等式不成立，故为假命题．