剖析："一正"：不论是三个数或n个数的平均值不等式都要求是正数，否则不等式是不成立的．"二定"：包含两类求最值问题，一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋...＋an为定值)，求其积a1a2...an的最大值；二是已知积a1a2...an为定值，求其和a1＋a2＋...＋an的最小值；"三相等"：取等号的条件是a1＝a2＝a3＝...＝an，不能只是其中一部分相等．

　　题型一　利用均值不等式求函数的最值

　　【例1】(1)求函数y＝x＋(x＜0)的最大值；

　　(2)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值．

　　分析：将函数式合理变形，再用不等式的性质求函数的最值．

　　反思：在利用均值不等式求最值时，往往需将所给不等式变形，拆分或拼凑都是常见的方法，但在变化过程中要注意式子的等价性及符号不等式的条件．

　　题型二　利用均值不等式解决实际问题

　　【例2】一份印刷品，其排版面积为432 cm2(矩形)，要求左右留有4 cm的空白，上下留有3 cm的空白，问矩形的长和宽各为多少时，用纸最省？

　　分析：根据矩形面积与矩形长和宽的关系列出方程，再利用不等式求最值．

　　反思：利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题．

　　题型三　易错辨析

　　【例3】求函数y＝1－2x－的最值．

　　错解：y＝1－2x－＝1－．

　　∵2x＋≥2＝2．

　　∴y≤1－2，故y的最大值为1－2．

　　错因分析：重要不等式a＋b≥2成立的前提条件是a＞0，b＞0．以上解题过程中没有注意这个前提条件．

　　反思：在利用不等式进行证明或求值时，一定要注意不等式成立的条件，即"一正，二定，三相等"．

　　答案：

　　【例1】解：(1)∵x＜0，

　　∴y＝x＋＝－

　　≤－2＝－．

　　当且仅当x＝－时，取"＝"号，

　　∴所求最大值为－．

　　(2)∵x＞0，a＞2x，

　　∴y＝x(a－2x)＝·2x·(a－2x)≤2＝．

　　当且仅当x＝时，取"＝"号．

　　∴所求最大值为．

【例2】解：设矩形的长为x cm，则宽为 cm，则总面积为：