[问题思考
1.函数的零点是一个点吗?
提示:不是,是一个使f(x)=0的x的取值.
2.函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系?
提示:等价关系,函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点.
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b 上的图像是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么在(a,b)上零点的个数是多少?什么情况下在(a,b)上有且只有一个零点?若f(a)f(b)>0,在区间(a,b)上就没有零点吗?
提示:若函数y=f(x)在区间[a,b 上的图像是连续不断的一条曲线,当f(a)·f(b)<0时在(a,b)上一定有零点,但是零点的个数不能确定;当(a,b)是f(x)的单调区间时只有一个零点;当f(a)·f(b)>0时也不一定没有零点.
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讲一讲
1.(1)函数f(x)=4x-16的零点为________.
(2)函数f(x)=x-的零点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(3)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
(4)已知函数f(x)=2x-3x2.问方程f(x)=0在区间[-1,0 内有没有实数解?为什么?
[尝试解答 (1)令4x-16=0,则4x=42,解得x=2,所以函数的零点为x=2.
答案:2
(2)选C 令f(x)=0,而x-=0,
∴x=±2,故有两个.
(3)选C 由f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,知函数f(x)的零点在区间(0,1)内.
(4)∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,
又∵函数f(x)=2x-3x2的图像是连续曲线,
∴f(x)在区间[-1,0 内有零点,
即f(x)=0在区间[-1,0 内有实数解.
(1)求函数f(x)的零点的方法:令f(x)=0,解方程f(x)=0即可.
(2)判断函数零点的个数,常用的方法有:
①解方程法:当能直接求解零点时,就直接求出进行判断.
②用定理法:用零点存在性定理并结合函数的单调性.