对此类命题进行否定时，需把全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，且同时对判断词进行否定.

答案：命题的否定：存在实数x，对所有的实数y，有x+y≤0.

案例 利用存在性命题、全称命题求参数的范围或值:

函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.

(1)求f(0)的值；

(2)当f(x)+2＜logax，x∈(0，)恒成立时，求a的取值范围.

【探究】此命题为全称命题，对x，y赋值有一定的技巧性.另外本题还要对参数a分类讨论.

解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x，

令x=1，y=0得f(1)-f(0)=2，又因为f(1)=0，所以f(0)=-2.

(2)由(1)知f(0)=-2，所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x.因为x∈(0，)，所以f(x)+2∈(0，).要使x∈(0，)时，f(x)+2＜logax恒成立，显然当a＞1时不可能，所以解得.

活学巧用

例1 判断下列全称命题的真假：

(1)所有的素数是奇数；(2) x∈R，x2+1≥1；

(3)对每一个无理数x，x2也是无理数.

分析：要判定全称命题"x∈M，p(x)"是真命题，需要对集合中的每一个元素x，证明p(x)成立，如果在集合中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.对全称命题真假的判断，常采用"举反例"来否定一个全称命题.

解：(1)2是素数，但2不是奇数，所以，命题是假命题；

(2)x∈R，总有x2≥0，因而x2+1≥1，所以，命题是真命题；

(3)是无理数，但()2=2是有理数，所以，命题是假命题.

例2 判断下列存在性命题的真假：

(1)有一个实数x，使x2+2x+3=0；

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3)有些整数只有两个正因数.

分析：要判定存在性命题"x∈M，p(x)"是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题.对存在性命题真假的判断，通常"找特例"来肯定此命题为真.

解：(1)由于x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使x2+2x+3=0的实数x不存在，所以，命题是假命题；

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以，命题是假命题;

(3)由于存在整数2只有两个正因数1和2，所以命题是真命题.

例3 写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假：