题型一　用待定系数法求椭圆的标准方程

例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).

解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，

所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).

因为2a＝10，所以a＝5.

又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，

所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).

因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，

所以解得

故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.

反思与感悟　求椭圆的标准方程时，要"先定型，再定量"，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.

跟踪训练1　求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.

解　方法一　(1)当焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

依题意有解得

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)当焦点在y轴上时，