圆锥曲线中的面积问题

一、基础知识：

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词"求同存异"，寻找这些图形的底和高中是否存在"同底"或"等高"的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见"圆锥曲线的性质"）

（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则

（2）双曲线：设为椭圆上一点，且，则

二、典型例题：

例1：设为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形的面积最大时，的值等于___________

思路：由椭圆中心对称的特性可知关于原点中心对称，所以与关于原点对称，面积相等。且四边形可拆成与的和，所以四边形的面积最大即面积最大，因为，所以当最大时，面积最大。即位于短轴顶点时，面积最大。由可知，