必修一 1．2 函数的表示法习题课

【教学目标】

1.知识与技能：根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用．

2.过程与方法：通过学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程。

　3.情感态度价值观：让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合的思想方法。

【重点难点】

1.教学重点：函数解析式的求法和映射概念的理解．

2.教学难点：函数解析式的求法和映射概念的理解．

【教学策略与方法】

　　1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．

　　2.教具准备：多媒体

【教学过程】

教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 环节一：复习引入 　　我们在前两节课中，已经学习了函数的三种表示法、分段函数等问题，这一节课我们研究其在实际问题中的应用．

教师：通过ppt演示帮助学生复习回顾所学知识并提出问题

学生：积极回顾基本知识并思考问题：1、表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种；2、分段函数的概念及其图像. 从复习上节学习内容导入新课，为下面的习题课的展开埋下伏笔. 环节二：讲解新课 考点一：函数的图像

例1 (1)函数y＝＋x的图像是 (　　)

【答案】D

【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，可排除C，当x＝1时，y＝2，可排除B.当x＝－1时，y＝－2，可排除A.故选D.

(2)作出函数y＝x2－2x－2(0≤x≤3)的图像并求其值域．

解：y＝x2－2x－2是一元二次函数，定义域为{x|0≤x≤3}，所以，该函数图像为抛物线的一部分．先画出y＝x2－2x－2的图像，再截取需要的部分，如图所示．

　　由图可知，函数的最小值在顶点处取得，此时x＝1，最大值在x＝3处取得，当x＝1时，y＝－3；当x＝3时，y＝1.所以函数的值域为[－3，1]．

【变式】 作出下列函数的图像：

(1)y＝x＋1(x∈Z)；

(2)y＝x2－2x(x∈(－1，2])．

解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．

(2)因为x∈(－1，2]，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－2x介于－1

考点二、函数解析式的求法

[导入] (1)对于一次函数和二次函数，在一定条件下，如何求函数的解析式？

(2)求函数的解析式一般有哪些方法？

解：(1)利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式．

(2)待定系数法，代入法，换元法，构造方程组法．

例2　(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝－2x－3 B．f(x)＝2x＋1

C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1

[答案] D　

[解析] 设f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，所以a2＝4且ab＋b＝3，解得a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝1.故所求的函数为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.

(2)求下列函数的解析式：

①已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x－1)；

②已知f(－1)＝x＋2，求f(x)；

③设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的一个函数，且有f(x)＝2f－1，求f(x)．

②令t＝－1，则t≥－1，且＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.故所求的函数为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．

③因为f(x)＝2f－1，所以用代换x，得f＝2f(x)－1.消去f，得f(x)＝4f(x)－2－1，所以f(x)＝＋.又因为x∈(1，＋∞)，所以f(x)＝＋，x∈(1，＋∞)．

变式 (1)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝－2x＋

C．f(x)＝－x＋ D．f(x)＝－x＋

[答案] C

[解析]因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①

所以把①中的x换成－x得f (－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②由①②解得f(x)＝－x＋.

(2)若f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，则f(x)的解析式为________________．

[解析] 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

比较对应项系数，得解得a＝1，b＝3，所以f(x)＝x＋3

考点三、映射的概念

例3 (1)已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，即f：x→(x＋1，x2＋1)，则集合A中的元素对应集合B中的元素为____________；集合B中的元素，对应集合A中的元素为__________________________．

(2)如图1­2­6所示，箭头标明A中元素与B中元素的对应关系，它们中为映射的有________；为函数关系的有________．

[解析] (1)将x＝代入对应关系得(＋1，3)．由解得x＝.故对应集合B中的元素为(＋1，3)，，对应集合A中的元素为.

(2)只有③④满足映射和函数的条件．

【变式】 集合A＝{a，b}，B＝{－1，0，1}，从A到B的映射f：A→B满足：f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是(　　)

A．2 B．3 C．5 D．8

[答案] B　

[解析] 由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0，共3个．故选B.

教师：通过ppt演示给出例题

学生：聆听并思考老师提出的问题

教师：运用ppt演示给出变式训练题

学生：独立思考并独立完成解答过程

师生共同归纳总结出作函数图像的三个步骤：

(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；

(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；

(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．

教师：讲解

学生：认真听讲并积极思考问题

教师：运用ppt演示给出变式训练题

学生：独立思考并独立完成解答过程

教师：运用ppt演示给出变式训练题

学生：独立思考并独立完成解答过程

师生共同归纳总结出求函数解析式的几种常用方法：

　　(1)待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法．

　　(2)代入法：已知y＝f(x)的解析式，求函数y＝f[g(x)]的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.

　　(3)换元法：已知y＝f[g(x)]的解析式，求y＝f(x)的解析式，可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入y＝f[g(x)]中，求出f(t)，即得f(x)．

　　(4)构造方程组法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反或者互为倒数关系时，构造方程组求解．

教师：提出问题

学生：思考问题并解决问题

教师：运用ppt演示给出变式训练题

学生：独立思考并独立完成解答过程

师生共同归纳总结出判断某种对应法则是否为集合A到集合B的映射的方法：

　　(1)明确集合A，B中的元素．

(2)判断A中的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原象，集合A中的不同元素对应的象不相同． 通过实际例子的分析与引导，正确认识到函数图像的作法，培养学生动手绘图的能力.

通过变式环节进一步加深学生对函数图像的作法的熟练程度，巩固所学的知识.

通过归纳总结环节，引导学生学会解题后的反思与归纳总结能力.

通过具体例题，让学生亲身感受函数解析式求法的实际应用，培养学生应用知识能力和创新能力。

通过变式训练，进一步巩固学生对函数解析式的一般方法的认识与理解.

通过归纳总结环节，引导学生学会解题后的反思与归纳总结能力.

通过归纳总结环节，引导学生学会解题后的反思与归纳总结能力.