感悟非线性回归问题

　　两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。一般地，建立回归模型的基本步骤为：

　　1．确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

　　2．画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；

　　3．由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈线性关系，则选用线性回归方程）；

　　4．按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；

　　5．得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

　　例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度与析出银的光学密度由公式表示，现测得试验数据如下：

0．05 0．06 0．25 0．31 0．07 0．10 0．38 0．43 0．14 0．20 0．47 0．10 0．14 1．00 1．12 0．23 0．37 1．19 1．25 0．59 0．79 1．29 　　试求对的回归方程。

　　分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为类型，我们只要通过所给的11对样本数据，求出和即可确定与的相关关系的曲线方程。

　　解析：由题意可知，对于给定的公式两边取自然对数，得。

　　与线性回归方程对照可以看出，只要取，，就有，这是的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数和。 题目中所给数据由变量置换，变为如下所示的数据：

20．000 16．667 4．000 3．226 14．286 10．000 -2．303 -1．966 0．000 0．113 -1．470 -0．994