图1

活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.

在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.

对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势.

对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R〔或(-∞, +∞)〕.

对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.

∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,

∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.

也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R),

1°当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1.

2°当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.

对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-,］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.

图2 图3

这个变化情况也可从下表中显示出来:

x - 0 π sinx -1 ↗ 0 ↗ 1↘ 0 ↘ -1 就是说,函数y=sinx,x∈［-,］.

当x∈［-,］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1;