高手支招3综合探究

1.函数的导数与函数增减的速度之间的关系

递增函数就是函数值随自变量的增大而增大,一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;递减函数就是函数值随自变量的增大而减小,一个函数减小得快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小越多,即平均变化率大,导数的绝对值也就大,从而导数的绝对值越大,函数增减的速度就越快.

2.导数与函数的单调性的关系

(1)f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系.

f′(x)＞0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.

(2)f′(x)≠0时,f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系.

若将f′(x)=0的根作为分界点,因为规定f′(x)≠0,即去掉了分界点,此时f(x)为增函数,就一定有f′(x)＞0.∴当f′(x)≠0时,f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件.

(3)f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系.

f(x)为增函数,一定可以推出f′(x)≥0,但反之不一定,因为f′(x)≥0,即为f′(x)＞0或f′(x)=0.当函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数,函数不具有单调性.∴f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.

高手支招4典例精析

【例1】 (2006高考全国Ⅰ，理21) 已知函数f(x)=.

(1)设a＞0,讨论y=f(x)的单调性;

(2)若对任意x∈(0,1),恒有f(x)＞1,求a的取值范围.

思路分析:(1)先找出使函数f(x)= 有意义的区间,然后求出函数f(x)的导数f′(x),最后根据f′(x)分区间讨论函数f(x)的单调性.(2)若要求出对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1时的a的取值范围,只需要利用函数的单调性在不同的a的取值范围内分别讨论即可.

解:(1)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f′(x)=.

当a=2时,f′(x)=,f′(x)在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数.

当0＜a＜2时,f′(x)＞0,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数.

当a＞2时,0＜＜1,令f′(x)=0,解得x1=,x2=.

当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,) (,) (,1) (1,+∞) f′(x) + - + + f(x) ↗ ↘ ↗ ↗