2.2.2双曲线的几何性质（一）

课型：新授课 时间： 月 日 学习札记 〖学习目标及要求〗：

1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；

　　　　　　（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；

（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。

2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。

3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。

4、体现的思想方法：类比、设想。

5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。

〖讲学过程〗：

一、预习反馈:

二、探究精讲:

　　以双曲线标准方程为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。

　　1、顶点：在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），

　双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

　　在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。

　2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是。

所谓渐近，既是无限接近但永不相交。

　　3、离心率：

　　双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.

　　说明：①由c>a>0可得e>1；

　　②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.

探究二：

课本51页例3

　　双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）

探究三：

例3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。

三、感悟方法练习：

1、双曲线的性质：

椭 圆 双 曲 线 不 同 点 标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶 点 渐 近 线 1、 课本练习第1，2题

〖备选习题〗：

A 组

1、求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。

B组

　　1. 双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（　）

　　A． B．2 C． D．4

　　2. 求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线。

感悟一：

感悟二：

感悟三：