取n=2,有(1+1)(1+)＞＞=，

推测:(1+1)(1+)...(1+)＞（*）

①当n=1时,已验证(*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+)...(1+)＞,

则当n=k+1时,(1+1)(1+)...(1+)(1+)＞·(1+),

∵()3-()3

=＞0,

∴,

从而(1+1)(1+)...(1+)(1+)＞,即当n=k+1时,(*)式成立,

由①②知,(*)式对任意正整数n都成立.

于是,当a＞1时,Sn＞logabn+1,当0＜a＜1时,Sn＜logabn+1.

【例4】设数列{an}满足:an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,...

(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜测an的一个通项公式;

(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有

(i)an≥n+2;

(ii)+++...+≤.

思路分析：首先我们先猜想一下数列的通项公式,然后再运用数学归纳法,注意要用n=k时的假设.

(1)解:由a1=2,得a2=a12-a1+1=3,

由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4,

由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5,

由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n≥1).

(2)证明:(i)用数学归纳法证明:

①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2,那么

ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5≥k+3.

也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2,

据①和②,对于所有n≥1,有an≥2.