(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．

(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．

1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(×)

2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√)

3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√)

4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)

类型一　证明函数的奇偶性

例1　(1)证明f(x)＝既非奇函数又非偶函数；

(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；

(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

证明　(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f(x)＝既非奇函数又非偶函数．

(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．

(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，故函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．

反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．

跟踪训练1　(1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数；

(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数．

考点　函数的奇偶性判定与证明