解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,

而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,

所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；

(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得

D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,

所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.

点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.

变式训练

求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.

解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；

(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.

例2 求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.

解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有

解得D=-8,E=6,F=0,

故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.

方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),

再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-), ①

AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-), ②

联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.

方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,