三．数学运用

1．例题：

例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数．

解： 的实部分别是；

虚部分别是．

是实数；是虚数，其中是纯虚数．

例2．实数取什么值时，复数是

（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值．

解：（1）当，即时，复数是实数；

（2）当，即时，复数是虚数；

（3）当，且，即时复数是纯虚数．

（变式引申）：已知，复数，当为何值时：

（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：（1）当且，即时，是实数；

（2）当且，即且时，是虚数；

（3）当且，即或时，为纯虚数．

思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？

答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件．

例3．已知，求实数的值．