关系式.

解:(1)f′(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,

由f′(3)=0,得-[32+3(a-2)+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,则

f′(x)=-[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.

令f′(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,所以f′(x)要变号,∴x1≠x2,∴a≠-4.

当a＜-4时,x2＞3=x1,则在区间(-∞,3)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数;在区间(3,-a-1)上,f′(x)＞0,f(x)为增函数;在区间(-a-1,+∞)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数.

当a＞-4时,x2＜3=x1,则在区间(-∞,-a-1)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数;在区间(-a-1,3)上,f′(x)＞0,f(x)为增函数;在区间(3,+∞)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数.

(2)由(1)知,当a＞0时,f(x)在区间(0,3)上单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],

而f(0)=-(2a+3)e3＜0,f(4)=(2a+13)e-1＞0,f(3)=a+6,

那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].

又g(x)=(a2+)ex在区间[0,4]上是增函数,

且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],

由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=(a)2≥0,所以只需且仅需:

(a2+)-(a+6)＜1且a＞0,解得0＜a＜.

故a的取值范围是(0,).

【例4】(2006湖北高考，文19) 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.

思路分析:从"函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2"这一条件,可以得出函数在该点的导数为零,该点的函数值为-2,以此为依据就可以列出关于a和b的方程组,进而解方程组得出a和b关于c的表达式.

解:依题意有f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(x)=3x2+2ax+b,

故

从而

f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1).

令f′(x)=0,得x=1或x=.

由于f(x)在x=1处取得极值,故f′(x)要变号,即≠1,即c≠-3.

(1)若＜1,即c ＞-3,则当x∈(-∞,)时,f′(x)＞0;

当x∈(,1)时,f′(x)＜0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0;

从而f(x)的单调增区间为(-∞,］,［1,+∞);单调减区间为［,1］.