例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

。

求导数，得

　。

　令，解得舍去）。

　于是宽为。

　当时，<0；当时，>0.

　因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

课堂练习

　　1.某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？

　　分析：设所印文字区域的左右长为x cm，确定纸张的长与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得结论．

设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，

所以纸张的左右长为(x+2)cm，上下长为()cm，

所以纸张的面积S=(x+2)()=3x+ +156．

所以S′=，令S′=0解得x=10．

当x＞10时，S单调递增；当0＜x＜10时，S单调递减．

所以当x=10时，Smin=216(cm2)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm．

故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约．